Question

如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為6的正方形紙片，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP．

（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）通過證明PBC=BPH，APB=PBC來得出∠APB=∠BPH；（2）存在，當(dāng)x=3時(shí)，S有最小值13.5

解析試題分析：解：（1）∵PE=BE，
∴EBP=EPB．
又∵EPH=EBC=90°，
∴EPH-EPB=EBC-EBP．
即PBC=BPH．
又∵AD∥BC，
∴APB=PBC．
∴APB=BPH．
（2）過F作FM⊥AB，垂足為M，則.
又EF為折痕，∴EF⊥BP.
∴，
∴．
又∵A=EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴=x．
∴在Rt△APE中，．
解得，．
∴．
又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，∴當(dāng)x=3時(shí)，S有最小值13.5．
考點(diǎn)：四邊形與二次函數(shù)
點(diǎn)評：本題主要考查四邊形，是一道幾何題，把幾何題與二次函數(shù)相結(jié)合，解決本題的關(guān)鍵是找出邊、角的關(guān)系，列出關(guān)系式來，以及就是有關(guān)二次函數(shù)最值的問題，用配方法求最值