Question

如圖所示，現有一張邊長為6的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）通過證明PBC=BPH，APB=PBC來得出∠APB=∠BPH；（2）存在，當x=3時，S有最小值13.5

【解析】

試題分析：解：（1）∵PE=BE，

∴EBP=EPB．

又∵EPH=EBC=90°，

∴EPH-EPB=EBC-EBP．

即PBC=BPH．

又∵AD∥BC，

∴APB=PBC．

∴APB=BPH．

（2）過F作FM⊥AB，垂足為M，則.

又EF為折痕，∴EF⊥BP.

∴，

∴．

又∵A=EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴=x．

∴在Rt△APE中，．

解得，．

∴．

又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，

∴．

即：．

配方得，，∴當x=3時，S有最小值13.5．

考點：四邊形與二次函數

點評：本題主要考查四邊形，是一道幾何題，把幾何題與二次函數相結合，解決本題的關鍵是找出邊、角的關系，列出關系式來，以及就是有關二次函數最值的問題，用配方法求最值