Question

如圖所示，⊙O分別切△ABC的三邊AB，BC，CA于點D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c．
求：（1）AD，BE，CF的長；
（2）當∠C=90°時，內切圓的半徑長為多少？

Answer 1

解：

（1）設AD=x，BE=y，CF=z，由切線長性質可知AD=AF，BD=BE，CE=CF．
則，
解得，
即AD=，BE=，CF=．

（2）如右圖所示，設⊙O內切于Rt△ABC，切點分別為D，E，F，
連接OD，OE，OF，則OD⊥AC，OF⊥AB，OE⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，則
CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=．
分析：（1）根據切線長定理列方程組求解；
（2）根據正方形的判定和性質發現直角三角形的內切圓的半徑等于它的一條切線長，再進一步根據（1）的結論發現直角三角形的內切圓半徑公式．
點評：熟練運用切線長定理，能夠根據正方形的性質以及切線長定理推導出直角三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．