Question

某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠圍墻（墻的長度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD．已知木欄總長為120米，設AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．當x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這個最值；
（2）學校計劃將苗圃內藥材種植區域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓，其圓心分別為O₁和O₂，且O₁到AB、BC、AD的距離與O₂到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃內藥材種植區域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習．當（l）中S取得最值時，請問這個設計是否可行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的長120-2x，由矩形的面積公式得出答案；
（2）設出圓的半徑和藥材種植區外四中平面路面的寬，利用題目中的等量關系列出二元一次方程組，求得半徑和路面寬，當路面寬滿足題目要求時，方案可行，否則不行．

解答：解：（1）∵AB=x，∴BC=120-2x，
∴S=x（120-2x）=-2x²+120x；
當x=

120

2×2

=30時，S有最大值為

0-1202

4×(-2)

=1800；

（2）設圓的半徑為r米，路面寬為a米，
根據題意得：

4r+2a=60 2r+2a=30

解得：

r=15 a=0

∵路面寬至少要留夠0.5米寬，
∴這個設計不可行．

點評：本題考查了二次函數的應用，題目中還涉及到了二元一次方程組及方案設計的相關知識，是一道難度適中的綜合題．