Question

15．如圖，已知⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內接三角形，AB=8，．過點B作⊙O的切線BD，過點A作AD⊥BD，垂足為D．
（1）求證：∠BAD+∠C=90°
（2）求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）由弦切角等于同弧所對的圓周角得：∠C=∠ABD，再根據直角三角形兩銳角互余得出結論；
（2）作弦心距，由勾股定理得：OE=3，再證明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的長．

解答 證明：（1）∵BD為⊙O的切線，
∴∠C=∠ABD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°，
（2）連接OB，過O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵BD為⊙O的切線，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∵∠ADB=90°，
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠ABO，
∵∠D=∠OEB=90°，
∴△OEB∽△BDA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{OB}{AB}$，
∴$\frac{4}{AD}=\frac{5}{8}$，
∴AD=$\frac{32}{5}$；
則線段AD的長為$\frac{32}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質和垂徑定理、以及三角形的外接圓，是常考題型，熟練掌握切線的性質和垂徑定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．