Question

51、如圖所示，從△ABC的三邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，請回答下列問題：
（1）四邊形ADEF是什么四邊形？
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

Answer 1

分析：（1）當一個圖中出現2個等邊三角形時就可以找出一對全等三角形，可得出一對對邊相等，進而往四邊形ADEF是平行四邊形方面進行證明．
（2）四邊形ADEF是矩形，那么它的每個內角是90°，那么可利用在點A處組成的周角算出∠BAC的度數．

解答：解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：
∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
又∵△ACF是等邊三角形
∴AC=AF
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，
AD=EF．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°
∵∠DAB=∠FAC=60°
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°
∴當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

點評：本題主要應用的知識點為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一個角是直角的平行四邊形是矩形．