Question

如圖所示，從△ABC的三邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，請回答下列問題：
（1）四邊形ADEF是什么四邊形？
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

Answer 1

解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，∴DE=AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，∴四邊形ADEF為平行四邊形；
（2）若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，
∴當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．