Question

20．已知，如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，以B為直角頂點分別作Rt△BCD、Rt△BAE，且BC=BD，BA=BE，連接AD．猜想并證明線段AB、AD、AC之間的數量關系．

Answer 1

分析 結論：AC²+2AB²=AD²．由△ABD≌△EBC，推出AD=EC，由BA=BE，∠ABE=90°，推出∠BAE=45°，AE=$\sqrt{2}$AB，由∠BAC=45°，推出∠EAC=90°，推出AC²+AE²=EC²，由此即可證明．

解答 解：結論：AC²+2AB²=AD²．理由如下：
如圖，連接EC．

∵∠ABE=∠DBC=90°，
∴∠EBC=∠ABD，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ABD=∠EBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∵BA=BE，∠ABE=90°，
∴∠BAE=45°，AE=$\sqrt{2}$AB，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAC=90°，
∴AC²+AE²=EC²，
∴AC²+2AB²=AD²．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，靈活運用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．