Question

如圖，AB是⊙的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC，E是垂足．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果AB=5，tan∠B=，求CE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，tan∠B=，AB=5，
∴設AD=x，則BD=2x，由勾股定理，得x²+（2x）²=25，x=．
∴BD=CD=2．
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC．
∴∠B=∠C．
∴Rt△ADB∽Rt△DEC．
∴．
∴CE=4．
分析：（1）連接OD，只要證得∠EDO=90°即可得到DE是⊙O的切線．
（2）連接AD，先證明Rt△ADB∽Rt△DEC再根據相似比不難求得CE的長．
點評：本題利用了三角形中位線的判定和性質，平行線的判定和性質，直徑對圓周角是直角，切線的概念，正切的概念，勾股定理，相似三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質求解．