Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，延長AB到點C，使BC=AB，D是⊙O上一點，DC=6

2

．求證：
（1）△CDB∽△CAD；
（2）CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可；
（2）連接OD，求出OD²+CD²=OC²，根據勾股定理的逆定理得出∠ODC=90°，得出結論．

解答：證明：（1）∵AB=6，BC=AB，DC=6

2

，
∴AC=12，BC=6．
∴

DC

AC

=

BC

DC

=

2

2

．
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD．

（2）（證法一）：連接OD，則有OD=3，
∵OC=9，DC=6

2

，
∵DC²+OD²=（6

2

）²+3²=81=9²
∴DC²+OD²=OC²
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
又∵OD是半徑，
∴CD是⊙O的切線．
（證法二）：連接OD，則有OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
∵△CDB∽△CAD，
∴∠CDB=∠A．
∴∠CDB=∠ADO．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
即∠ADO+∠ODB=90°．
∴∠CDB+∠ODB=90°．
即∠ODC=90°．
∴CD⊥OD．
∵OD是半徑，
∴CD是⊙O的切線．

點評：綜合考查相似三角形的判定及勾股定理逆定理的應用．