Question

（1997•昆明）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，直線MN切⊙O于點C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延長線交MN于點P．求證：AC²=AE•AP．

Answer 1

分析：連接EC，易證BE∥MN，根據平行線的性質以及圓周角定理可以證明∠ACE=∠APC，根據弦切角定理與圓周角定理證得EAC=∠PAC，則△AEC∽△ACP，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得．

解答：解：連接EC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵AD⊥MN于D，
∴BE∥MN，
∴∠ABE=∠APC，
又∵∠ACE=∠ABE，
∴∠ACE=∠APC．
∵BE∥MN，
∴∠ECD=∠BEC=∠PAC，
∵直線MN切⊙O于點C，
∴∠ECD=∠EAC，
∴∠EAC=∠PAC
∴△AEC∽△ACP，
∴

AE

AC

=

AC

AP

，
∴AC²=AE•AP．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及圓周角定理、弦切角定理，證明線段的乘積相等的問題常用的思路就是轉化成證明三角形相似．