Question

11、設實數a，b滿足：3a²-10ab+8b²+5a-10b=0，求u=9a²+72b+2的最小值．

Answer 1

分析：先對3a²-10ab+8b²+5a-10b=0進行因式分解求得a-2b=0或3a-4b+5=0；然后分類討論①當a-2b=0時，將a=2b代入u=9a²+72b+2，根據二次函數的性質求其最值；②當3a-4b+5=0時，聯合u=9a²+72b+2，來求u=9a²+72b+2的最值．

解答：解：由3a²-10ab+8b²+5a-10b=0可得（a-2b）（3a-4b+5）=0，（6分）
所以a-2b=0，或3a-4b+5=0．（8分）
①當a-2b=0，即a=2b時，
u=9a²+72b+2=36b²+72b+2=36（b+1）²-34，
于是b=-1時，u的最小值為-34，此時a=-2，b=-1．（13分）
②當3a-4b+5=0時，u=9a²+72b+2=16b²+32b+27=16（b+1）²+11，
于是b=-1時，u的最小值為11，此時a=-3，b=-1．（18分）
綜上可知，u的最小值為-34．（20分）

點評：本題考查了二次函數的最值．在求二次函數的最值時，一般是將二次函數的一般形式利用配方法將其轉化為頂點式后，再來求其最值．