Question

孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax²（a＜0）的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：
（1）若測得OA=OB=2

2

（如圖1），求a的值；
（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標

 

；
（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發現，交點A、B的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求出B點坐標，代入拋物線y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過點A作AE⊥x軸于點E，可證△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程點A的橫坐標．
（3）設A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），B（n，-

1

2

n2）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根據相似三角形的性質可知交點A、B的連線段總經過一個固定的點（0，-2）．

解答：解：（1）設線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點，
∵OA=OB=2

2

，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
將B（2，-2）代入拋物線y=ax²（a＜0）得，a=-

1

2

．

（2）解法一：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，-

1

2

），
∴BF=

1

2

．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

AE

OE

=

OF

BF

=

1

1 2

=2，
∴AE=2OE，
設點A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），則OE=m，
AE=

1

2

m2，
∴

1

2

m2=2m，
∴m=4，即點A的橫坐標為-4．

解法二：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，-

1

2

），
∴tan∠OBF=

OF

BF

=

1

1 2

=2，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴

AE

OE

=tan∠AOE=tan∠OBF=2，
∴AE=2OE，
設點A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），
則OE=m，AE=

1

2

m2，
∴

1

2

m2=2m，
∴m=4，即點A的橫坐標為-4．

解法三：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，-

1

2

），
設A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），
則OB2=12+(

1

2

)2=

5

4

，OA2=m2+

1

4

m4，AB2=(1+m)2+(-

1

2

+

1

2

m2)2，
∵∠AOB=90°
∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-

1

2

+

1

2

m²）²=

5

4

+m²+

1

4

m⁴，
解得：m=4，即點A的橫坐標為-4．

（3）解法一：設A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），B（n，-

1

2

n2）（n＞0），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則

-mk+b=- 1 2 m2(1) nk+b=- 1 2 n2(2)

，
（1）×n+（2）×m得，(m+n)b=-

1

2

(m2n+mn2)=-

1

2

mn(m+n)，
∴b=-

1

2

mn（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴

AE

OF

=

OE

BF

，
∴

0.5m2

n

=

m

0.5n2

，
∴mn=4，
∴b=-

1

2

×4=-2．
由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2）．
（說明：寫出定點C的坐標就給2分）

解法二：∵點A是拋物線y=-

1

2

x²上的點，
∴設A（-m，-

1

2

m2）（m＞0），B（n，-

1

2

n2）（n＞0），
直線AB與y軸的交點為C，根據S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△B0F=S_△AOC+S_△BOC，
可得

1

2

•(

1

2

n2+

1

2

m2)(m+n)-

1

2

•m•

1

2

m2-

1

2

•n•

1

2

n2=

1

2

•OC•m+

1

2

•OC•n，
化簡，得OC=

1

2

mn．
又易知△AEO∽△OFB，
∴

AE

OF

=

OE

BF

，
∴

0.5m2

n

=

m

0.5n2

，
∴mn=4，
∴OC=2為固定值．故直線AB恒過其與y軸的交點C（0，-2），
說明：mn的值也可以通過以下方法求得．
由前可知，OA2=m2+

1

4

m4，OB2=n2+

1

4

n4，AB2=(m+n)2+(-

1

2

m2+

1

2

n2)2，
由OA²+OB²=AB²，得：(m2+

1

4

m4)+(n2+

1

4

n4)=(m+n)2+(-

1

2

m2+

1

2

n2)2，
化簡，得mn=4．
本答案僅供參考，若有其他解法，請參照本評分標準評分．

點評：本題著重考查了拋物線的對稱性和相似三角形的判定和性質，第（3）問求出mn=4是解題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．