Question

孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點，兩直角邊與該拋物線交于、兩點，請解答以下問題：

（1）若測得（如圖1），求的值；

（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點旋轉到如圖2所示位置時，過作軸于點，測得，寫出此時點的坐標，并求點的橫坐標；

（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點旋轉任意角度時驚奇地發現，交點、的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

 

Answer 1

解：

（1）設線段與軸的交點為，由拋物線的對稱性可得為中點，

 ，，

，(，)                       

將(，)代入拋物線得，.                

（2）解法一：過點作軸于點，

點的橫坐標為， (1，)，                             

.  又 ，易知，又，

△∽△，             

設點（，）（），則，，

，即點的橫坐標為.        

解法二：過點作軸于點，

點的橫坐標為， (1，)， 

    

 ，易知，

，                

設點（-，）（），則，，

，即點的橫坐標為.                    

解法三：過點作軸于點，

點的橫坐標為， (1，)，  …

設（-，）（），則

，，，  

 ，

，

解得：，即點的橫坐標為.                      

（3）解法一：設（，）（），（，）（），

設直線的解析式為：，     則

得，，[來源:學。科。網Z。X。X。K]

              ……… 8分

又易知△∽△，，，…

.由此可知不論為何值，直線恒過點（，）

（說明：寫出定點的坐標就給2分）

解法二：設（，）（），（，）（），

直線與軸的交點為，根據，可得

，

化簡，得.                                            

又易知△∽△，，，

 為固定值.故直線恒過其與軸的交點（,）

說明：的值也可以通過以下方法求得.

由前可知，，，，

由，得：，

化簡，得.