Question

孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax²（a＜0）的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：
（1）若測得（如圖1），求a的值；
（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標______；
（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發現，交點A、B的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出B點坐標，代入拋物線y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過點A作AE⊥x軸于點E，可證△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程點A的橫坐標．
（3）設A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根據相似三角形的性質可知交點A、B的連線段總經過一個固定的點（0，-2）．
解答：解：（1）設線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點，
∵，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
將B（2，-2）代入拋物線y=ax²（a＜0）得，．

（2）解法一：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，），
∴．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴AE=2OE，
設點A（-m，）（m＞0），則OE=m，
，
∴，
∴m=4，即點A的橫坐標為-4．

解法二：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，），
∴，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴，
∴AE=2OE，
設點A（-m，）（m＞0），
則OE=m，，
∴，
∴m=4，即點A的橫坐標為-4．

解法三：過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，
∴B（1，），
設A（-m，）（m＞0），
則，，，
∵∠AOB=90°
∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-+m²）²=+m²+m⁴，
解得：m=4，即點A的橫坐標為-4．

（3）解法一：設A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則，
（1）×n+（2）×m得，，
∴（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴．
由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2）．
（說明：寫出定點C的坐標就給2分）

解法二：∵點A是拋物線y=-x²上的點，
∴設A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
直線AB與y軸的交點為C，根據S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△B0F=S_△AOC+S_△BOC，
可得，
化簡，得．
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴OC=2為固定值．故直線AB恒過其與y軸的交點C（0，-2），
說明：mn的值也可以通過以下方法求得．
由前可知，，，，
由OA²+OB²=AB²，得：，
化簡，得mn=4．
本答案僅供參考，若有其他解法，請參照本評分標準評分．
點評：本題著重考查了拋物線的對稱性和相似三角形的判定和性質，第（3）問求出mn=4是解題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．