Question

（2013•建鄴區一模）如圖，直線l與⊙O交于C、D兩點，且與半徑OA垂直，垂足為H，∠ODC=30°，在OD的延長線上取一點B，使得AD=BD．
（1）判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）求出△OAD是等邊三角形，推出∠OAD=∠ODA=60°，求出∠DAB=∠B=30°，求出∠OAB=90°，關鍵切線的判定推出即可；
（2）求出△OAB和扇形OAD的面積，即可求出答案．

解答：解：（1）直線AB與⊙O的位置關系是相切，
理由是：∵AO⊥CD，
∴∠OAD=90°，
∵∠ODC=30°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠OAD=∠ODA=60°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∵∠ODA=∠B+∠DAB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠OAB=30°+60°=90°，
∵OA為半徑，
∴直線AB是⊙O的切線，
即直線AB與⊙O的位置關系是相切．

（2）∵∠B=30°，∠OAB=90°，OA=2，
∴OB=2OA=4，由勾股定理得：AB=2

3

，
∴陰影部分的面積S=S_△OAB-S_扇形OAD=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，扇形的面積，三角形的面積等知識點的應用，主要考查學生綜合運用機密性推理和計算的能力．