Question

8．在平面直角坐標系中，點A（4，0），B為第一象限內一點，且△OAB為等邊三角形，C為OB的中點，連接AC．
（1）如圖①，求點C的坐標；
（2）如圖②，將△OAC沿x軸向右平移得到△DFE，設OD=m，其中0＜m＜4．
①設△OAB與△DEF重疊部分的面積為S，用含m的式子表示S；
②連接BD，BE，當BD+BE取最小值時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析 （1）過C作CH⊥OA，垂足為H，根據線段與角度之間的關系，可求得C點的坐標為（1，$\sqrt{3}$）； 
（2）①分兩種情況討論，Ⅰ、當0＜m≤2時，重合面積為四邊形，此時S=S_△DEF-S△AGF
Ⅱ、當2＜m＜4時，重合面積為等邊三角形，此時S=S_△KAD；
②分0＜m≤2和2＜m＜4兩種情況討論計算，
Ⅰ、如圖4，BD+BE轉化為BD+BE'，而BD+BE'最小，則當D、B、E'三點共線時，BD+BE取得最小值，可求得E$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．
Ⅱ、同Ⅰ的方法即可得出m=4，不符合要求．

解答 解：（Ⅰ）如圖1，

過C作CH⊥OA，垂足為H，
∵OA=4，△OAB為等邊三角形，
∴∠BOA=60°，OB=4，
∵C為OB的中點，
∴OC=2，∠OCA=90°，
∴∠OCH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}OC$=1，CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴點C的坐標為（1，$\sqrt{3}$）；     
（Ⅱ）①∵△DEF是△OCA平移得到的，
∴AF=OD=m，
當0＜m≤2時，如圖2，

設AB與EF交于點G，
過點A作AI⊥EF，垂足為I，
∵∠BAF=120°，∠DFE=30°，
∴∠AGF=30°，
∴AI=$\frac{1}{2}$m，GF=2FI=$\sqrt{3}m$，
∴S=S_△DEF-S△AGF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²，
當2＜m＜4時，如圖3，

設AB與DE交于點K
∵∠KDA=∠KAD=60°，
∴△KAD為等邊三角形，
∵DA=4-m，
∴S=S_△KAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-m）²，
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}（8-{m}^{2}），0＜m≤2}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}（4-{m}^{2}），2＜m＜4}\end{array}\right.$；
②Ⅰ、當0＜m≤2時，如圖4，過點B作直線l∥x軸，
作點E關于直線l的對稱點E'，直線l的解析式為y=2$\sqrt{3}$，
連接BE，BE'，
∴BE=BE'，
∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小，
∴BD+BE'最小，
即：點D，B，E'三點共線，
∵△OAC沿x軸向右平移得到△DFE，設OD=m，
∴CE=OD=m，D（m，0），
由（1）知，C（1，$\sqrt{3}$），
∴E（m+1，$\sqrt{3}$），
∵點E關于直線l的對稱點E'，
∴E'（m+1，3$\sqrt{3}$），
由點D（m，0），E'（m+1，3$\sqrt{3}$），得出直線DE'的解析式為y=3$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$m，
∵點B在直線DE'上，
∴3$\sqrt{3}$×2-3$\sqrt{3}$m=2$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4}{3}$，
∴E$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．
Ⅱ、當2＜m＜4時，作點E關于直線l的對稱點E'，連接BE，BE'，
∴BE=BE'，
∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小，
∴BD+BE'最小，
即：點D，B，E'三點共線，
∵△OAC沿x軸向右平移得到△DFE，設OD=m，
∴CE=OD=m，D（m，0），
由（1）知，C（1，$\sqrt{3}$），
∴E（m+1，$\sqrt{3}$），
∵點E關于直線l的對稱點E'，
∴E'（m+1，$\sqrt{3}$），
由點D（m，0），E'（m+1，$\sqrt{3}$），得出直線DE'的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$m，
∵點B在直線DE'上，
∴$\sqrt{3}$×2-$\sqrt{3}$m=2$\sqrt{3}$，
∴m=0（舍去）
∴當BD+BE取最小值時，點E的坐標為$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．

點評 此題是幾何變換綜合題，以三角形為背景，考查等邊三角形的性質、平移的性質、待定系數法，用面積割補法來求不規則圖形的面積，對稱的性質，體現了分類討論的思想，確定出直線DE'的解析式是解本題的關鍵，借助點D，E'的橫坐標相差1，此題（2）②容易丟點第二種不成立的理由．