Question

已知a、b、c都是正整數，且拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B，若A、B到原點的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析：先根據方程ax²+bx+c=0有兩個相異根都在（-1，0）中可得到，a-b+c＞0，

c

a

＜1，且b²-4ac＞0，再由不等式的基本性質可求出a的取值范圍，再根據a、b、c之間的關系即可求解．

解答：解：據題意得，方程ax²+bx+c=0有兩個相異根，都在（-1，0）中，
故當x=-1時，y＞0，則a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根

c

a

=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
可見a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2

ac

+1，可得（

a

-

c

）²＞1，
③得，

a

＞

c

+1，故a＞4，
又因為b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分別取a、b、c的最小整數5、5、1．
經檢驗，符合題意，
所以a+b+c=11最�。�
故答案為：11．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題及根的判別式，由a-b+c＞0，

c

a

＜1，且b²-4ac＞0得到關于a、b、c的關系式是解答此題的關鍵．