Question

用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為x（cm）規格的地磚，恰用n塊；若選用邊長為y（cm）規格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊．已知x、y、n都是正整數，且（x，y）=1．試問：這塊地有多少平方米？

Answer 1

分析：先設出這塊地的面積，再根據正方形的面積公式得到關于x、y、n的關系式，再根據x十y與x-y的奇偶性相同得到關于x、y的方程組，求出x、y及n的值，再代入這塊地的面積表達式即可求解．

解答：解：設這塊地的面積為S，則S=nx²=（n+124）y²，得n（x²-y²）=124y²．
∵x＞y，（x，y）=1，
∴（x²-y²，y²）=l，得（x²-y²）|124．
∵124=2²×31，x²-y²=（x十y）（x-y），x十y＞x-y，且x十y與x-y奇偶性相同，

x+y=31 x-y=1

或

x+y=2×31 x-y=2

解之得x=16，y=15，此時n=900．
故這塊地的面積為S=nx²=900×16²=230400（cm²）=23.04（m²）．
故答案為：23.04m²．

點評：本題考查的是整數的奇偶性問題，雖然同一塊地有不同的鋪法，但是這塊地的面積不變，利用面積不變建立x、y、n的等式，尋找解題的突破口是解答此題的關鍵．