Question

【題目】如圖，圓與的斜邊相切于點，與直角邊相交于兩點，連結，已知，圓的半徑為6，弧的長度為。

（1）求證：∥；

（2）若，求線段的長度。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）CA=10，CB=30

【解析】試題分析：（1）要證明DE∥BC，可證明∠EDA=∠B，由弧DE的長度為4π，可以求得∠DOE的度數，再根據切線的性質可求得∠EDA的度數，即可證明結論．

（2）根據90°的圓周角對的弦是直徑，可以求得EF，的長度，借用勾股定理求得AE與CF的長度，即可得到答案．

試題解析：（1）證明：連接OE，OF，OD

∵圓的半徑為6，弧的長度為

∴即∠EOD=n=60°，OD=OE=6

∴△EOD為等邊三角形

∴∠OED=∠EDO =∠EOD =60°

∵圓與的斜邊相切于點

∴OD⊥AB即∠ODA =90°

∴∠EDA =∠ODA -∠ODE =30°=∠B

∴∥

（2）解：∵∥，∠C =90°∴

∴∠AED =∠C=90°，∠FED =180°-∠C=90°

∴FD為圓的直徑，即FD過點O

∴在Rt△EDF中，∠EFD =90°-∠EDF=30°

∴FD=12，EF=6

∴在Rt△AED中，EA=2

∴CE=AF=8

∴CA=AF+AE=10，CB=AC=30