Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線經過，兩點，拋物線與軸的另一交點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點為第一象限內拋物線上一點，設四邊形的面積為，求的最大值；

（3）若是線段上一動點，在軸上是否存在這樣的點，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，；（3）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標，由待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關于S的二次函數，求最值即可；
（3）分兩種情況，當時，當時兩種情況，結合相似三角形求解.

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，，兩點關于直線對稱且，

∴.

∴設拋物線的解析式為.

∵拋物線經過點，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為，

即.

（2）如圖，過點作于點.設

則.

∴，.

∴

.

∴當時，.

（3）分以下兩種情況：

①如圖所示：當時，

∵，

∴只能.

∵，，

設BC解析式為：y=kx+m，將B，C代入，

可得：k=-2，m=8，

∴直線的解析式為.

設點，

則，，.

在中，

.

∵，

∴.

∴，即，

.

∴.

∵，

∴，.

∴.

②如圖所示：當時，

∵，

∴只能.

過點作軸于點，

設點，

則，，.

由①得：，.

∵，，

∴.

∴，即

∴，

∵，，

∴.

∴.

∴.

∵軸于點，，

∴，.

∴.

又∵，

∴

∴，即，

∴

∴，

∴，

綜上所述，點的坐標為或.