Question

如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF．

（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；

（2）若tan∠F=，CD=a，請用a表示⊙O的半徑；

（3）求證：GF²﹣GB²=DF•GF．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，從而推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據切線的定義證明即可。

（2）

（3）連接BD，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據相似三角形對應邊成比例列式表示出BG²，然后代入等式左邊整理即可得證。

【解析】

分析：（1）根據等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，從而推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據切線的定義證明即可。

（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACF=∠F，根據垂徑定理可得CE=CD=a，連接OC，設圓的半徑為r，表示出OE，然后利用勾股定理列式計算即可求出r。

（3）連接BD，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據相似三角形對應邊成比例列式表示出BG²，然后代入等式左邊整理即可得證。

解：（1）證明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°。

又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，

∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°。∴OB⊥FB。

∵AB是⊙O的弦，∴點B在⊙O上。∴BF是⊙O的切線。 

（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F。

∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=CD=a。

∵tan∠F=，∴，即。

解得。

連接OC，設圓的半徑為r，則，

在Rt△OCE中，，即，解得。

（3）證明：連接BD，

∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已證），∴∠DBG=∠F。

又∵∠F=∠F，∴△BDG∽△FBG。

∴，即GB²=DG•GF。

∴GF²﹣GB²=GF²﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF²﹣GB²=DF•GF。