Question

已知矩形OABC的邊長(zhǎng)OA=4，AB=3，E是OA的中點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過C、E兩點(diǎn)．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖，將矩形OABC中，將△COE沿直線l折疊后得到△CFE，點(diǎn)F在矩形OABC內(nèi)部，延長(zhǎng)CF交AB于G點(diǎn)．證明：GF=GA；
（3）由上面的條件，求四邊形AGFE的面積？

Answer 1

分析：（1）易求E（2，0），C（0，3）．把點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入直線l的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），列出關(guān)于k、b的方程組，通過解方程組可以求得它們的值；
（2）如圖2，連接EG．通過證明Rt△EFG≌Rt△EAG來證明GF=GA；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及（2）中全等三角形的性質(zhì)推知BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2．則在直角△CBG中，由勾股定理求得AG=

4

3

．
所以有全等三角形的性質(zhì)得到S_{四邊形AGFE}=2S_Rt△EAG=2×

1

2

AE•AG=

8

3

．

解答：（1）解：設(shè)直線l的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0）．
∵矩形OABC的邊長(zhǎng)OA=4，AB=3，E是OA的中點(diǎn)，
∴OC=AB=3，OE=2，
∴E（2，0），C（0，3）．
∴

0=2k+b 3=b

，
解得，

k=- 3 2 b=3

，
∴直線l的解析式y(tǒng)=-

3

2

x+3；

（2）證明：如圖2，連接EG．
∵四邊形OABC是矩形，
∴∠COA=∠OAB=90°．
又根據(jù)折疊是性質(zhì)得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，
∴∠EFG=∠EAG=90°．
又∵E是OA的中點(diǎn)，
∴OE=EF，
∴EF=EA，
∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，

EF=EA EG=EG

，
∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），
∴GF=GA；

（3）解：由（2）知，GF=GA，根據(jù)折疊的性質(zhì)知OC=CF=3．
∵BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，
∴在直角△CBG中，由勾股定理得：CG²=BC²+BG²，即（3+AG）²=（3-AG）²+4²，
解得，AG=

4

3

．
∵由（1）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，
∴S_Rt△EFG=S_Rt△EAG，
∴S_{四邊形AGFE}=2S_Rt△EAG=2×

1

2

AE•AG=2×

1

2

×2×

4

3

=

8

3

，即四邊形AGFE的面積是

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，是一道綜合性較好的題目．