Question

一個正整數若能表示為兩個正整數的平方差，則稱這個正整數為“智慧數”，比如16=5²-3²，16就是一個“智慧數”．在正整數中從1開始數起，試問第1998個“智慧數”是哪個數？并請你說明理由．

Answer 1

1不能表示為兩個正整數的平方差，所以1不是“智慧數”．對于大于1的奇正整數2k+1，有2k+1=（k+1）²-k²（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數都是“智慧數”．
對于被4整除的偶數4k，有4k=（k+1）²-（k-1）²（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數都是“智慧數”，而4不能表示為兩個正整數平方差，所以4不是“智慧數”．
對于被4除余2的數4k+2（k=0，1，2，3，…），設4k+2=x²-y²=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數，
當x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數，而4k+2為偶數，總得矛盾．
所以不存在自然數x，y使得x²-y²=4k+2．即形如4k+2的數均不為“智慧數”．
因此，在正整數列中前四個正整數只有3為“智慧數”，此后，每連續四個數中有三個“智慧數”．
因為1998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996個“智慧數”，2665是第1997個“智慧數”，
注意到2666不是“智慧數”，
因此2667是第1998個“智慧數”，
即第1998個“智慧數”是2667．