Question

一個正整數若能表示成兩個正整數的平方差，則稱這個正整數為“楊敏數”．例如，16=5²-3²就是一個“楊敏數”．則把所有的“楊敏數”從小到大排列后，第47個“楊敏數”是（　　）

A、97

B、95

C、64

D、65

Answer 1

分析：如果一個數是楊敏數，就能表示為兩個正整數的平方差，設這兩個數分別m、n，設m＞n，即楊敏數=m²-n²=（m+n）（m-n），因為m，n是正整數，因而m+n和m-n就是兩個自然數．要判斷一個數是否是楊敏數，可以把這個數分解因數，分解成兩個整數的積，看這兩個數能否寫成兩個正整數的和與差．

解答：解：1不能表示為兩個正整數的平方差，所以1不是“楊敏數”．對于大于1的奇正整數2k+1，有2k+1=（k+1）²-k²（k=1，2，…）．
所以大于1的奇正整數都是“楊敏數”．
對于被4整除的偶數4k，有4k=（k+1）²-（k-1）²（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數都是“楊敏數”，而4不能表示為兩個正整數平方差，所以4不是“楊敏數”．
對于被4除余2的數4k+2（k=0，1，2，3，…），設4k+2=x²-y²=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數，
當x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數，而4k+2為偶數，總得矛盾．
所以不存在自然數x，y使得x²-y²=4k+2．即形如4k+2的數均不為“楊敏數”．
因此，在正整數數列中前四個正整數只有3為“楊敏數”，此后，每連續四個數中有三個“楊敏數”．
∵47=（1+3×15）+1，4×（15+1）=64，，64是第46個“楊敏數”，
65是第47個“楊敏數”．
故選：D．

點評：此題主要考查了平方差公式，有一定的難度，主要是對題中新定義的理解與把握．