Question

如圖，過A（8，0）、B（0，）兩點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)C、平行于y軸的直線l從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時停止；l分別交線段BC、OC于點(diǎn)D、E，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線l的運(yùn)動時間為t（秒）。
（1）直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)和t的取值范圍；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、O、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)l的解析式為y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，）分別代入解析式得，
，
解得k=-，
則函數(shù)解析式為y=-x+8，
將y=-x+8和y=x組成方程組得，
，
解得，
故得C（4，），
∵OA=8，
∴t的取值范圍是：0≤t≤4；
（2）作EM⊥y軸于M，DG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵D點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，），E的坐標(biāo)是（t，）
∴DE=-=；
∴等邊△DEF的DE邊上的高為：DE=12-3t；
根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)，以及∠MNE=60°，
得出MN=t，
同理可得：GH=t，
∴可求梯形上底為：-，
∴當(dāng)點(diǎn)F在BO邊上時：12-3t=t，
∴t=3；
當(dāng)0≤t＜3時，重疊部分為等腰梯形，可求梯形面積為：
S===；
當(dāng)3≤t≤4時，重疊部分為等邊三角形
S=
=；
（3）存在，P（，0）；
說明：∵FO≥，F(xiàn)P≥，OP≤4，
∴以P，O，F(xiàn)以頂點(diǎn)的等腰三角形，腰只有可能是FO，F(xiàn)P，
若FO=FP時，t=2（12-3t），t=，
∴P（，0）。