Question

22、已知∠AOB及其內部一點P，試討論以下問題的解答：
（1）如圖①，若點P在∠AOB的平分線上，我們可以過P點作直線垂直于角平分線，分別交OA、OB于點C、D，則可以得到△OCD是以CD為底邊的等腰三角形；若點P不在∠AOB的平分線上（如圖②），你能過P點作直線，分別交OA、OB于點C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底邊嗎？請你在圖②中畫出圖形，并簡要說明畫法．
（2）若點P不在∠AOB的平分線上（如圖③），我們可以過P點作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直線PR分別交OA、OB于點C、D，則可以得到△OCD是以OC為底的等腰三角形．請你說明這樣作的理由．
（3）若點P不在∠AOB的平分線上，請你利用在（2）中學到的方法，在圖④中過P點作直線分別交OA、OB于點C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底邊．保留畫圖的痕跡，不用寫出畫法．

Answer 1

分析：（1）作∠AOB的平分線，過P點作角平分線的垂線，分別交角的兩邊OA、OB于點C、D，則△OCD是以CD為底邊的等腰三角形；
（2）根據PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，進而得出OD=CD，即可得出答案；
（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．

解答：解：（1）能．
畫法：作∠AOB的平分線，過P點作角平分線的垂線，分別交角的兩邊OA、OB于點C、D，則△OCD是以CD為底邊的等腰三角形，如圖①．

（2）∵PQ∥OA，
∴∠QPR=∠OCD，
又∵∠QPR=∠AOB，
∴∠OCD=∠AOB．
∴OD=CD．
即△OCD是以OC為底的等腰三角形．

（3）如圖②．

點評：此題主要考查了基本作圖角平分線的性質等知識；作角平分線是正確解答本題的關鍵．