Question

已知：如圖，△BCE、△ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BE=AD，△CDE是等邊三角形．求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析：根據等邊三角形CDE的性質、等量代換求得∠3=∠1=60°；然后由全等三角形Rt△BCE和Rt△ACD推知對應邊BC=AC；據此可以判定△ABC是等邊三角形．

解答：證明：∵△CDE是等邊三角形，
∴EC=CD，∠1=60°．（1分）
∵BE、AD都是斜邊，
∴∠BCE=∠ACD=90°（1分）
在Rt△BCE和Rt△ACD中，

EC=DC BE=AD

（1分）
∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）．（1分）
∴BC=AC．（1分）
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°．（1分）
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質．等邊三角形的判定可以通過三個內角相等，三條邊都相等或者兩條相等的邊之間的夾角是60°等方法．