Question

【題目】如圖，王爺爺家院子里有一塊三角形田地ABC，AB=AC=5米，BC=6米，現打算把它開墾出一個矩形MNFE區域種植韭菜，△AMN區域種植芹菜，△CME和△BNF區域種植青菜（開墾土地面積損耗均忽略不計），其中點M，N分別在AC，AB上，點E，F在BC上，已知韭菜每平方米收益100元，芹菜每平方米收益60元，青菜每平方米收益40元，設CM=5x米，王爺爺的蔬菜總收益為W元．

（1）當矩形MNFE恰好為正方形時，求韭菜種植區域矩形MNFE的面積．

（2）若種植韭菜的收益等于另兩種蔬菜收益之和的2倍，求這時x的值．

（3）求王爺爺的蔬菜總收益為W關于x的函數表達式及W的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=或;(3)W=﹣1200（x﹣）2+912，x=時，W有最大值，最大值為912元

【解析】

（1）根據成比例，設一個未知數，通過勾股定理求解.（2）用代數式表示各種蔬菜的收益，根據條件形成等式，從而求解，得出x.（3）用x表示出各個蔬菜的收益，求和為W，從而做出函數式，用二次函數規律求出最大值.

（1）作AH⊥BC于H，交MN于D．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴CH=HB=3，

在Rt△ACH中，AH==4，

∵ME∥AH，

∴==，

∴CE=3x，EM=EF=4x，

易證△MEC≌△NFB，

∴CE=BF=3x，

∴3x+4x+3x=6，

∴x=，

∴EM=，

∴矩形MNFE的面積為平方米．

（2）由題意：100×4x（6﹣6x）=2[60××（6﹣6x）（4﹣4x）+40×4x×3x]，

解得x=或．

（3）由題意W=100×4x（6﹣6x）+60××（6﹣6x）（4﹣4x）+40×4x×3x=﹣1200x2+960x+720=﹣1200（x﹣）2+912，

，∵﹣1200＜0，

∴x=時，W有最大值，最大值為912元．