Question

（2013•松北區一模）如圖，P為△ABC內一點，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠BPC=120°．若BP=

3

，則△PAB的面積為

3 3

2

．

Answer 1

分析：如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．利用切線的性質和圓內接四邊形的內對角互補得到∠BDA=180°-∠BPC=60°，所以∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=90°，即AB是⊙O的切線．設∠ABP=∠BDP=α．通過解直角△ABD、△BPD求得AB、AP的長度，然后由三角形的面積公式S=

1

2

absinC進行計算即可．

解答：解：如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直徑．
∵四邊形BDCP是圓內接四邊形，
∴∠BDA=180°-∠BPC=60°，
∴∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=180°-30°-60°=90°，則AB是⊙O的切線．
設∠ABP=∠BDP=α．
在直角△ABD中，AB=BD•tan∠BDA=

3

BD，
在直角△BPD中，BP=BD•sin∠BDP=BDsinα=

3

，
則△PAB的面積是：

1

2

AB•BPsin∠ABP=

1

2

×

3

BD×

3

sinα=

3 3

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，解直角三角形以及三角形的面積計算．此題的難點是作出△BPC的外接圓⊙O．