Question

m，n均為正整數，若關于x的方程4x²-2mx+n=0的兩個實數根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：首先設f（x）=4x²-2mx+n，由關于x的方程4x²-2mx+n=0有兩個實數根，可得判別式△＞0，又由此二次函數的開口向上，關于x的方程4x²-2mx+n=0的兩個實數根都大于1，且小于2，可得f（1）＞0，f（2）＞0，然后設方程4x²-2mx+n=0兩根為x₁，x₂，根據韋達定理，可得x₁+x₂=，x₁x₂=，則可求得4＜m＜8，4＜n＜16，由m，n均為正整數，利用分類討論的方法，即可求得m，n的值．
解答：解：設f（x）=4x²-2mx+n，
∵關于x的方程4x²-2mx+n=0有兩個實數根，
∴△=（2m）²-16n≥0，
∴m²≥4n，
∵此二次函數的開口向上，關于x的方程4x²-2mx+n=0的兩個實數根都大于1，且小于2（如草圖），
∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0，
設方程4x²-2mx+n=0兩根為x₁，x₂，
由韋達定理知：x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵x₁，x₂都大于1，且小于2，
∴2＜＜4，1＜＜4，
∴4＜m＜8，4＜n＜16，
∵m，n均為正整數，
∴（1）當m=5，由m²-4n≥0，得n=5或6，但均不滿足4-2m+n＞0，
∴m≠5；
（2）當m=6，由m²-4n＞0得n=5，6，7，8，9，
∵n，5，6，7，8不滿足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴n=9；
（3）當m=7，由m²-4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不滿足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴此時無解；
∴m=6，n=9．
點評：此題考查了一元二次方根的分布，函數的性質與一元二次不等式的解法．此題難度較大，解題的關鍵是掌握函數思想、分類討論思想與數形結合思想的應用，還要注意二次函數的性質的靈活應用．