Question

（2001•河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動；設點M移動的時間為t秒（0≤t≤10）．
（1）點N為BC邊上任意一點，在點M移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；
（2）點N從點B（與點M出發的時刻相同）以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；
（3）點N從點B（與點M出發的時刻相同）以每秒a（a≥2）個單位長的速度沿著射線BC方向（可以超越C點）移動，過點M作MP∥AB，交BC于點P．當△MPN≌△ABC時，設△MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關系式，井求當S=0時的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個梯形的面積相等，而兩個梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．
（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積．
（3）易得△MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可．
解答：解：（1）設：BN=a，CN=10-a（0≤a≤10）
因為，點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動，點M移動的時間為t秒（0≤t≤10）
所以，AM=1×t=t（0≤t≤10），MD=10-t（0≤t≤10）．
所以，梯形AMNB的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；
梯形MNCD的面積=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10-t）+（10-a）]×菱形高÷2
當梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時，
即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）
所以，當t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）時，可出現線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分．

（2）點N從點B以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，設點N移動的時間為t，可知0≤t≤5，
因為AB=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，
AM=1×t=t，BN=2×t=2t．
所以梯形ABNM的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0≤t≤5）．
所以當t=5時，梯形ABNM的面積最大，其數值為．

（3）當△MPN≌△ABC時，
則△ABC的面積=△MPN的面積，則△MPN的面積為菱形面積的一半為25；
因為要全等必有MN∥AC，
∴N在C點外，所以不重合處面積為×（at-10）²×
∴重合處為S=25-，
當S=0時，即PM在CD上，
∴a=2．
點評：本題考查了菱形以及相應的三角函數的性質，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件．