Question

平面內，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M（如圖1），求∠AMC的大小；
（2）點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點N（如圖2），則∠ANC=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，設AD與BC交于點F，BC與AM交于P，∠CFD=x°，根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度數，即∠CPM的度數，在△CPM中，利用三角形的內角和定理，即可求∠AMC．
（2）設AD、BC交于點F，設∠AFB=x°，設AN與BC交于點R，利用三角形的內角和定理以及三角形外角的性質，利用x表示出∠RCN以及∠CRN的度數，然后在△CNR中，利用三角形內角和定理即可求解．

解答：解：（1）如圖1，設AD與BC交于點F，BC與AM交于P，AD與CM交于Q，設∠CFD=x°，則∠AFB=∠CFD=x度，
△CFD中∠BCD=180°-∠ADC-∠CFD=180°-42°-x=138°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

2

∠BCD=69°-

1

2

x，
同理：∠BAM=∠MAD=78°-

1

2

x，
在△ABP中利用三角形內角和定理得到：
∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
則∠CPM=∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
在△CPM中三內角的和是180°，
即：（69°-

1

2

x）+（78°+

1

2

x）+∠AMC=180°，
則∠AMC=33°；

（2）設AD、BC交于點F，設∠AFB=x°，設AN與BC交于點R，（見圖2）
∠EAD=∠B+∠AFB=24°+x，則∠RAD=∠EAN=12°+

1

2

x，
∵∠AFB=∠ARF+∠RAD，
∴∠ARB=∠CRN=∠EAN-∠B=

1

2

x-12°，
又∵由（1）可知∠BCN=69°-

1

2

x，
在△CNR中利用三角形內角和定理：
（

1

2

x-12°）+（69°-

1

2

x）+∠ANC=180°，
解得∠ANC=123°．

點評：在解題過程中如果需要一個量的值時，可以先把它設出，在解題過程中用所設的未知數表示，設的量可能也不需求出．