Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠DOA=60°，AC的長為8cm，求菱形OCED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定四邊形OCED是平行四邊形，再根據矩形的對角線相等且互相平分可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）過點D作DF⊥AC于F，先判定出△DOA是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出AF并利用勾股定理求出DF的長度，再根據菱形的面積公式進行計算即可得解．
解答：（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴OCED是平行四邊形，
∵矩形ABCD，
∴AO=OC=OB=OD=AC=BD，
∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：過點D作DF⊥AC于F，
由上可知OA=OD=AC=×8=4cm，
∵∠DOA=60°，
∴△DOA是等邊三角形，
∴AF=OA=2cm，
∴DF===2cm，
∴菱形OCED的面積為：OC×DF=4×2=8cm．
點評：本題主要考查了矩形、平行四邊形、菱形、等邊三角形的性質和判定等基礎知識，還考查了幾何推理能力．