Question

如圖1是腳踩式家用垃圾桶，圖2是它的內部結構示意圖．EF是一根固定的圓管，軸MN兩頭是可以滑動的圓珠，且始終在圓管內上下滑動．點A是橫桿BN轉動的支點．當橫桿BG踩下時，N移動到N′．已知點B、A、N、G的水平距離如圖所示，支點的高度為3cm．
（1）當橫桿踩下至B′時，求N上升的高度；
（2）垃圾桶設計要求是：垃圾桶蓋必須繞O點旋轉75°．試問此時的制作是否符合設計要求？請說明理由．
（3）在制作的過程中，可以移動支點A（無論A點如何移，踩下橫桿BG時，B點始終落在B′點），試問：如何移動支點（向左或右移動，移動多少距離）才能符合設計要求？請說明理由．（本小題結果精確到0.01cm）

Answer 1

分析：（1）很顯然，△ABB′、△ANN′相似，已知了AB、AN、BB′的長，根據相似三角形所得比例線段即可求得NN′的值．
（2）在Rt△MM′O中，求得了NN′的長，即可得MM′的長，然后根據MO的知，可求得∠MOM′的度數，然后再同75°進行比較即可．
（3）由（2）知：設計的并不合理；若設支點向左平移xcm，那么可參照①的思路先表示出NN′的長，然后聯立NN′：MO=tan75°，組成方程組即可得到x的值，從而得解．

解答：解：設支點底點為A′，不計大小，
（1）由題意則∠AB′A′=∠N′AN，∠N′NA=∠AA′B′=90°，
∴在△AA′B′∽△ANN′中，
∴B′A′：AA′=AN：NN′，
∴NN′=8cm
即點N上升8cm．

（2）由點N上升8cm
∴在Rt△M′MO中，M′M=8，
由題意MO=2.5，
∴tan∠M′OM=

8

2.5

=3.2，即∠M′OM≈72.6°＜75°；
故設計不合理．

（3）假設支點A向左平移xcm，
則

6-x

16+x

=

3

NN′

tan75°=

NN′

2.5

，解得：x=0.65；
答：支點A應向左移動0.65cm．
（答案誤差控制在±0.01，超過，則算錯）

點評：此題主要考查的是解直角三角形的實際應用，同時還涉及到相似三角形的相關知識，難度適中．