Question

．（13分）已知拋物線y＝ax 2＋bx＋c經過O（0，0），A（4，0），B（3，）三點，連接AB，過點B作BC∥軸交拋物線于點C．動點E、F分別從O、A兩點同時出發，其中點E沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向A點運動，點F沿折線A→B→C以每秒1個單位長度的速度向C點運動．設動點運動的時間為t（秒）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）記△EFA的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求S的最大值，指出此時△EFA的形狀；

（3）是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時E、F兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

（1）根據題意得

        解得：

                 ------------4分

（2）過點B作BM⊥x軸于M，

則BM=,OM=3,∵OM=4,∴AM=1

AB=

∵∴∠BAM=60°

當0<t《2時，AF=t,過點F作FH⊥x軸，

∵FN=Afsin60°=,

當2<t《4時，如圖，

當0<t《2時，當時，

當2<t《4時,s<

∴當x=2時，

,此時AE=AF=2又∵∠EAF=60°. ∴△AEF為等邊三角形. -----------10分

(3)當0≤t≤2時，

若∠EFA=90°,此時∠FEA=30°, ∴EA=2AF，4-t=2t, ∴.此時E

當∠FEA=90°時，此時∠EFA=30°, ∴2EA=AF，∴t=2(4-t)

∴>2, ∴這種情況不存在。

當2<t《4時，有t-2+t=3

∴t=2.5

E(2.5,0),   F(2.5,).   ------------13分