Question

（2013•荊門）若拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n=

9

．

Answer 1

分析：首先，由“拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個交點”推知x=-

b

2

時，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c；
其次，根據拋物線對稱軸的定義知點A、B關于對稱軸對稱，則A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）；
最后，根據二次函數圖象上點的坐標特征知n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9，所以把b²=4c代入即可求得n的值．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個交點，
∴當x=-

b

2

時，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．
又∵點A（m，n），B（m+6，n），
∴點A、B關于直線x=-

b

2

對稱，
∴A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）
將A點坐標代入拋物線解析式，得：n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9
∵b²=4c，
∴n=-

1

4

×4c+c+9=9．
故答案是：9．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．