Question

【題目】(1)問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°.

求證：AD·BC=AP·BP．

(2)探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．

(3)應用：請利用(1)(2)獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A.設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； (2)結論AD·BC=AP·BP仍成立.理由見解析；（3）t的值為2秒或10秒.

【解析】

（1）由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可證得△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可證得△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（3）過點D作DE⊥AB于點E，根據等腰三角形的性質可得AE＝BE＝6，根據勾股定理可得DE＝8，由題意可得DC＝DE＝8，則有BC＝108＝2，易證∠DPC＝∠A＝∠B，根據AD·BC=AP·BP，即可求出t的值．

（1）證明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴AD·BC=AP·BP；

(2)結論AD·BC=AP·BP仍成立

理由：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，且∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴AD·BC=AP·BP；

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD=BD=10，AB=12，.

∴AE=BE=6，

∴，

∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10-8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由(1)(2)的經驗得AD·BC=AP·BP，

又∵AP=t，BP=12-t，

∴，

解得：，，

∴t的值為2秒或10秒.