Question

有理數a，b，c均不為0，且a+b+c=0．設x=|

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

|，試求代數式x¹⁹+99x+2000之值．

Answer 1

分析：根據題意可得a，b，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負與a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），則可得

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．

解答：解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，
又a，b，c中不能全同號，故必一正二負或一負二正，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即

a

b+c

=-1，

b

c+a

=-1，

c

a+b

=-1，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

中必有兩個同號，另一個符號其相反，即其值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1，
∴

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

=±1，x=|

|a|

b+c

+

|b|

c+a

+

|c|

a+b

|=1，
∴x¹⁹+99x+2000=1+99+2000=2100．

點評：本題考查了分式的運算，注意分類討論思想的應用．能得到

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1是解此題的關鍵，要注意仔細分析，難度適中．