Question

有理數a，b，c均不為0，且a+b+c=0，設x=|

|a|

b+c

+

|b|

a+c

+

|c|

a+b

|，試求x¹⁹-99x+2009的值．

Answer 1

分析：根據題意可得a，b，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負與a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），則可得

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．

解答：解：∵有理數a，b，c均不為0，且a+b+c=0，
∴a，b，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即

a

b+c

=-1，

b

c+a

=-1，

c

a+b

=-1，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

中必有兩個同號，另一個符號與其相反，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1，
∴x=1，
∴原式=1-99+2009=1911．

點評：此題考查了分式的運算，注意分類討論思想的應用．能得到

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值為兩個+1，一個-1或兩個-1，一個+1是解此題的關鍵，要注意仔細分析．