Question

閱讀下列材料并完成填空：
你能比較兩個數2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整數），然后從分析n=1，n=2，n=3，_…這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）通過計算，比較下列①~⑦各組兩個數的大小．（在橫線上填“>”、“=”或“<”）
①1²_______2¹；②2³_______3²；
③3⁴_______4³；④4⁵_______5⁴；
 ⑤5⁶_______6⁵；⑥6⁷_______7⁶； 
⑦7⁸_______8⁷；_…   
（2）從上面各小題的結果經過歸納，可以猜出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系為_________．（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論，可以得到2010²⁰¹¹________ 2011²⁰¹⁰（在橫線上填“>”、“=”或“<”）

Answer 1

解：（1）經計算，得：
①1²<2¹；②2³< 3²；③3⁴>4³；④4⁵>5⁴；⑤5⁶>6⁵；⑥6⁷>7⁶；⑦7⁸>8⁷；
（2）于是可歸納為：
當1≤n≤2時，nⁿ⁺¹<（n+1）ⁿ；
當n≥3時，nⁿ⁺¹>（n+1）ⁿ；
（3）>．