Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，過點C的直線CF⊥AD于點F，交AB的延長線于點E，連接AC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）連接FO，若sinE=$\frac{1}{2}$，⊙O的半徑為r，請寫出求線段FO長的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠2，根據圓周角定理得到∠1=∠3，推出OC∥AF，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由sinE=$\frac{1}{2}$，推出△AEF，△OEC都為含30°的直角三角形；推出△ACF為含30°的直角三角形；由勾股定理可求OF的長．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AF，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥EF，
∵OC為⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：求解思路如下：
①在Rt△AEF和Rt△OEC中，由sinE=$\frac{1}{2}$，
可得△AEF，△OEC都為含30°的直角三角形；
②由∠1=∠3，可知△ACF為含30°的直角三角形；
③由⊙O的半徑為r，可求OE，AE的長，從而可求CF的長；
④在Rt△COF中，由勾股定理可求OF的長．

點評 本題考查了切線的判定，直角三角形的性質，圓周角定理，平行線的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．