Question

已知：如圖，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦ED∥OC，連結CD并延長交BE的延長線于點A．
證明：CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，由DE與CO平行，利用兩直線平行內錯角相等、同位角相等得到兩對角相等，再由OD=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠COB=∠COD，再由OD=OB，OC為公共邊，利用SAS得出三角形BCO與三角形DCO全等，由全等三角形對應角相等得到一對角相等，由BC為圓的切線，利用切線的性質得到∠CBO=90°，進而得到∠CDO=90°，再由OD為圓的半徑，即可得到CD為圓O的切線．
解答：證明：連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，
∴∠DEO=∠EDO，
∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO=∠CBO，
∵BC為圓O的切線，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵OD為圓的半徑，
∴CD為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．