Question

已知：如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，∠AOD=∠APC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若AC=4CO，AP=2

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OP．欲證OP是⊙O的切線，直需證明OP⊥AO．
（2）在Rt△APO中，利用射影定理即可求得AO的長度．然后利用勾股定理來求半徑OP的長度．

解答：（1）證明：連接OP；
∵OP、OD是⊙O的半徑，
∴OP=OD．
∴∠OPD=∠ODP（等邊對等角）．
∵PD⊥BE（已知），
∴∠OCD=90°．
∴∠ODP+∠AOD=90°．
∵∠AOD=∠APC，
∴∠OPD+∠APC=90°，即∠APO=90°．
∵OP是⊙O的半徑，
∴AP是⊙O的切線；

（2）由（1）知，∠APO=90°，
則在Rt△APO中，AP²=AC•AO（射影定理）．
∵AC=4CO，AP=2

5

，
∴（2

5

）²=

4

5

AO•AO，
∴AO=5．
∴OP=

OA2-AP2

=

5

，即⊙O的半徑是5．

點評：本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理．解答（2）題時，也可以采用相似三角形的對應邊成比例來求AO的長度．