Question

已知：如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．
（1）求證：AC•BC=BE•CD；
（2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長．

Answer 1

分析：（1）欲證AC•BC=BE•CD，可以證明△ADC∽△ECB得出；
（2）求⊙O的直徑BE的長，由AC•BC=BE•CD知，可在Rt△ACD和Rt△BCD中，根據已知條件求出BC，AC的長即可．

解答：（1）證明：連接CE（1分）
∵BE是⊙O的直徑
∴∠ECB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠ECB=∠ADC
又∵∠A=∠E（同弧所對的圓周角相等），
∴△ADC∽△ECB（2分）
∴

AC

EB

=

DC

CB

∴AC•BC=BE•CD；（1分）

（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8
∴BC=

BD2+CD2

=

82+62

=10（1分）
∴AC=

AD2+CD2

=

32+62

=3

5

（1分）
∵AC•BC=BE•CD
∴3

5

×10=BE•6
∴BE=5

5

∴⊙O的直徑BE的長是5

5

．（2分）

點評：本題考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及解直角三角形的知識，同時考查了相似三角形的判定和性質，綜合性較強．