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(2006•武漢)(北師大版)如圖1,在平面直角坐標系中,以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為-1,直線a:y=-x-與坐標軸分別交于A,C兩點,點B的坐標為(4,1),⊙B與X軸相切于點M.
(1)求點A的坐標及∠CAO的度數;
(2)⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移,同時,直線a繞點A順時針勻速旋轉.當⊙B第一次與⊙O相切時,直線a也恰好與⊙B第一次相切.問:直線AC繞點A每秒旋轉多少度;
(3)如圖2,過A,O,C三點作⊙O1,點E是劣弧上一點,連接EC,EA.EO,當點E在劣弧上運動時(不與A,O兩點重合),的值是否發生變化?如果不變,求其值;如果變化,說明理由
【答案】分析:(1)已知點A,C的坐標,故可推出OA=OC,最后可得∠CAO=45°.
(2)依題意,設⊙B平移t秒到⊙B1處與⊙O第一次相切,連接B1O,B1N,則MN=3.連接B1A,B1P可推出∠PAB1=∠NAB1.又因為OA=OB1=,故∠AB1O=∠NAB1,∠PAB1=∠AB1O繼而推出PA∥B1O.然后在Rt△NOB1中∠B1ON=45°,∴∠PAN=45°得出∠PAC=90°.然后可得直線AC繞點A平均每秒90度.
(3)在CE上截取CK=EA,連接OK,證明△OAE≌△OCK推出OE=OK,∠EOA=∠KOC,∠EOK=∠AOC=90°.最后可證明=
解答:解:(1)令直線a:y=-x-中,y=0求出x=-
∴A(-,0),
令x=0求出y=-,∴C(0,-),
∴OA=OC,
∵OA⊥OC,
∴△AOC為等腰直角三角形,
∴∠CAO=45°;

(2)如圖,設⊙B平移t秒到⊙B1處與⊙O第一次相切,此時,直線α旋轉到α1恰好與⊙B1第一次相切于點P,⊙B1與x軸相切于點N,
連接B1O,B1N,則MN=t,OB1=
B1N⊥AN,∴MN=3,即t=3.
連接B1A,B1P.則B1P⊥AP,B1P=B1N.∴∠PAB1=∠NAB1
∵OA=OB1=,∴∠AB1O=∠NAB1∴∠PAB1=∠AB1O.∴PA∥B1O.
在Rt△NOB1中,∠B1ON=45°,
∴∠PAN=45°,∴∠PAC=90°,即順時針轉動270°,
∴直線AC繞點A平均每秒90°.

(3)的值不變,等于,如圖
在CE上截取CK=EA,連接OK,
∵∠OAE=∠OCK,OA=OC,
∴△OAE≌△OCK,
∴OE=OK,∠EOA=∠KOC,
∴∠EOK=∠AOC=90°,
∴EK=EO,∴=
點評:命題立意:此題綜合考查了點的坐標的求法、函數、圖形的平移與旋轉、圓的有關性質等知識.此題綜合性強,難度較大,把重點知識穿插進行了考查.
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