Question

（2006•武漢）（人教版）已知：二次函數y=x²-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）是否存在過點D（0，-）的直線與拋物線交于點M、N，與x軸交于點E，使得點M、N關于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，即x²-（m+1）x+m=0，根據一元二次方程根與系數的關系及x₁²+x₂²=10，可求出m的值，再根據圖象與y軸正半軸于點C，可求出函數的解析式；
（2）根據題意，設出一次函數解析式y=kx-，若能求出比例系數，則可證明此直線存在．
解答：解：（1）因為x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根據根與系數的關系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因為點C在y軸的正半軸上，
∴m=3，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過點D（0，-）的直線與拋物線交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）兩點，與x軸交于點E，使得M、N兩點關于點E對稱．
設直線MN的解析式為：y=kx-，
則有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由，
x²-4x+3=kx-，
移項后合并同類項得x²-（k+4）x+=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-+kx_N-=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當k=-5時，方程x²-（k+4）x+=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無交點，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-，
∴此時直線過一、三、四象限，與拋物線有交點；
∴存在過點D（0，）的直線與拋物線于M，N兩點，與x軸交于點E．使得M、N兩點關于點E對稱．
點評：此題巧妙利用了一元二次方程根與系數的關系．在（2）中，將直線與拋物線的交點問題轉化為根與系數的關系解答，考查了同學們的整體思維能力．