Question

已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；
（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用a表示）；
（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．

Answer 1

（1）10；（2）12－a；（3）不能

試題分析：（1）過點G作GM⊥BC于M，根據正方形的性質及同角的余角相等可證得△AHE≌△BEF，同理可證：△MFG≌△BEF，即可得到GM＝BF＝AE＝2，再根據三角形的面積公式求解即可；
（2）過點G作GM⊥BC于M．連接HF，根據平行線的性質可得∠AHF＝∠MFH，∠EHF＝∠GFH，即得∠AHE＝∠MFG，再結合∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF可證得△AHE≌△MFG，即可得到GM＝AE＝2，再根據三角形的面積公式求解即可；
（3）若S_△GFC＝2，則12－a＝2，解得a＝10．此時在△BEF中，根據勾股定理求得EF的長，在△AHE中，根據勾股定理求得AH的長，由AH＞AD，即點H已經不在邊AB上，故不可能有S_△GFC＝2．
（1）過點G作GM⊥BC于M

在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AHE≌△BEF．
同理可證：△MFG≌△BEF，
∴GM＝BF＝AE＝2，
∴FC＝BC－BF＝10，
則S_△GFC＝10；
（2）過點G作GM⊥BC于M．連接HF

∵AD∥BC，
∴∠AHF＝∠MFH，
∵EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH，
∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM＝AE＝2．
∴S_△GFC＝FC•GM＝（12－a）×2＝12－a；
（3）△GFC的面積不能等于2．
∵若S_△GFC＝2，則12－a＝2，解得a＝10．
此時，在△BEF中，EF＝＝＝，
在△AHE中，AH＝＝＝＝＞12，
∴AH＞AD，即點H已經不在邊AB上，故不可能有S_△GFC＝2．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．