Question

（1998•天津）在半徑等于5cm的圓內有長為5

3

cm的弦，則此弦所對的圓周角為（　　）

A．120°

B．30°或120°

C．60°

D．60°或120°

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，連接OA，OB，在優弧AB上任取一點E，連接AE，BE，在劣弧AB上任取一點F，連接AF，BF，過O作OD⊥AB，根據垂徑定理得到D為AB的中點，由AB的長得出AD的長，再由OA=OB，OD與AB垂直，根據三線合一得到OD為角平分線，在直角三角形AOD中，利用銳角三角函數定義及AD與OA的長，求出∠AOD的度數，可得出∠AOB的度數，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，可得出∠AEB的度數，再利用圓內接四邊形的對角互補可得出∠AFB的度數，綜上，得到此弦所對的圓周角的度數．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形為：

連接OA，OB，在優弧AB上任取一點E，連接AE，BE，在劣弧AB上任取一點F，連接AF，BF，
過O作OD⊥AB，則D為AB的中點，
∵AB=5

3

cm，∴AD=BD=

5 3

2

cm，
又OA=OB=5，OD⊥AB，
∴OD平分∠AOB，即∠AOD=∠BOD=

1

2

∠AOB，
∴在直角三角形AOD中，
sin∠AOD=

AD

OA

=

5 3 2

5

=

3

2

，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
又圓心角∠AOB與圓周角∠AEB所對的弧都為

AB

，
∴∠AEB=

1

2

∠AOB=60°，
∵四邊形AEBF為圓O的內接四邊形，
∴∠AFB+∠AEB=180°，
∴∠AFB=180°-∠AEB=120°，
則此弦所對的圓周角為60°或120°．
故選D．

點評：此題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，銳角三角函數定義，以及圓內接四邊形的性質，是一道綜合性較強的題．本題有兩解，學生做題時注意不要漏解．