Question

（2012•長寧區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P是射線DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將三角板的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，三角板兩直角邊中的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交射線BA于點(diǎn)E．
（1）判斷△EAP與△PDC一定相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)PD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長等于△PDC周長的2倍？若存在，請(qǐng)求出PD的長；若不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)P在AD邊上時(shí)以及當(dāng)P在AD邊上時(shí)，分別得出三角形相似；
（2）根據(jù)若點(diǎn)P在邊AD上或點(diǎn)P在邊DA延長線上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出y與x的關(guān)系式；
（3）假如存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長等于△PDC的2倍，若點(diǎn)P在邊AD上，若點(diǎn)P在邊DA延長線上分別得出即可．

解答：解：（1）△EAP∽△PDC，
①當(dāng)P在AD邊上時(shí)  如圖（1），
∵矩形ABCD∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°，
據(jù)題意∠CPE=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△EAP∽△PDC，
②當(dāng)P在AD延長線上時(shí)  如圖（2）
同理可得△EAP∽△PDC；

（2）若點(diǎn)P在邊AD上，
據(jù)題意：PD=x，PA=6-x，DC=4，AE=y，
又∵△EAP∽△PDC，
∴

AE

PD

=

PA

DC

，
∴

y

x

=

6-x

4

，
∴y=

6x-x2

4

=-

1

4

x2+

3

2

x（0＜x＜6），
若點(diǎn)P在邊DA延長線上時(shí)，據(jù)題意 PD=x，PA=x-6，DC=4，AE=y，
∵△EAP∽△PDC，
∴

AE

PD

=

PA

DC

，
∴

y

x

=

x-6

4

∴y=

x2-6x

4

（x＞6）；

（3）假如存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長等于△PDC的2倍，
若點(diǎn)P在邊AD上，
∵△EAP∽△PDC，
∴C_△EAP：C_△PDC=（6-x）：4，
∴（6-x）：4=2，
∴x=-2 不合題意舍去，
若點(diǎn)P在邊DA延長線上，同理得（x-6）：4=2，
∴x=14，
綜上所述：存在這樣的點(diǎn)P滿足題意，此時(shí)PD=14．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論思想結(jié)合P點(diǎn)位置的不同得出答案是解題關(guān)鍵．